Sections vectorielles du cube et d'autres boules unité de IRN - Driouich, Abderrahim (Université des Sciences et Techniques de Lille - Flandres-Artois, Lille, 1987)
Le premier objet de ce travail est une majoration de la mesure du volume des sections du cube de IRⁿ, par des sous-espaces de codimension K. Le cas des hyperplans a été traité par K. Ball. Nous améliorons la majoration naturelle obtenue dans le cas général quand 2K ≤ n. La méthode consiste à étendre celle de K. Ball, pas transformation de Fourier et conclure par un calcul de déterminant. L’étude de quelques exemples suggère que si 2K ≤ n, la majoration est √2K. Nous étudions ensuite les sections d’une boule B, de volume 1, isotrope, c'est-à-dire que la matrice d’inertie est scalaire. Si on note L²B le coefficient diagonal de cette matrice, D. Hensley et K. Ball ont démontré que pour tout sous-espace F, de codimension K a ≤ LKB mesure (F ∩ B) ≤ bK. Nous étudions alors la conjecture selon laquelle LB serait borné par une constante universelle. Nous donnons différentes assertions équivalentes à cette conjecture (par exemple : ∃α 0 : n, B boule, de volume 1, de IRⁿ, ∃ H, hyperplan tel que mesure (B ∩ H) > α). Nous démontrons que certaines catégories de boules, présentant des propriétés géométriques particulières vérifiant cette conjecture. Enfin, nous évaluerons la valeur de LB pour certains espèces classiques : ℓPn, CPn ; espaces des opérateurs T de IRⁿ dans IRⁿ, muni de la norme (ⁿ∑i=1Pi1/p où les (i) sont les valeurs propres de module de T.
Keywords: Mathématiques pures; Convexité; Espace de Banach