On the rigged Hilbert space formalism of quantum mechanics - Zakariae ENNADIFI (Faculté des Sciences, Rabat, 2024)
Les vecteurs propres généralisés sont des outils clés dans la théorie des triplets de Gelfand. Soit ℋ un espace de Hilbert et soit Φ un sous-espace dense de ℋ. Soit A : D(A) → ℋ un operateur linéaire non-borné a domaine dense défini sur ℋ tel que Φ ⊂ D(A) et AΦ ⊂ Φ . Les vecteurs propres généralisés de A sont les vecteurs propres du dual algébrique de A : Φ → Φ . Dans le cas où Φ est muni d’une topologie 𝜏 plus fine que celle induite par celle de ℋ , les vecteurs propres généralisés qui sont 𝜏 -continus peuvent être d’un grand intérêt. Nous discutons des conditions qui garantissent l’existence d’une représentation associée aux vecteurs propres généralisés de A. A titre d’application, nous passons en revue et affinons l’étude de Böhm sur l’algèbre de l’oscillateur harmonique quantique. Nous discutons également des constructions canoniques de triplets de Gelfand. Nous nous concentrons sur les opérateurs cycliques autoadjoints et utilisons l’Hamiltonien libre unidimensionnel sur la demi-droite comme modèle. Nous proposons une construction non-standard qui peut être généralisée à de nombreux systèmes quantiques. Notre construction est motivée par le théorème d'unicité de Stone-von Neumann.
Keywords: Mathématiques; Analyse Fonctionnelle; Triplet de Gelfand; nucléarité; opérateur autoadjoint cyclique; théorème d’unicité de Stone-von Neumann