Sensibilité et stabilité des points d’équilibre et quasi-équilibre : Applications aux inégalités HEMI- Variationnelles et Variationnelles - Ait Mansour, Mohamed (Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences Semlalia, Marrakech, 2002)
Étant donné un sous-ensemble K d’un espace vectoriel topologique et φ une fonction a valeurs réelles définie sur K X K, on considère le problème d’équilibre suivant : trouver un point µ ∈ k tel que : Φ (µ, υ) ≥ 0 ∀ ∊ k Plusieurs problèmes d’existence tels que les inéquations Variationnelles, l’optimisation (maximum, minimum), les points selles, les points fixes, les complémentarités et autres peuvent être traités sous cette forme ainsi que de nombreux modèles d’application résidant dans l’ingénierie, les équilibres du marché, la robotique, la politique monétaire et autres. Bien que l’étude d’existence de solutions de problème plus haut ait fait l’objet de plusieurs contributions, seulement trop peu d’attention a été accordée à l’analyse de stabilité et de sensibilité des points d’équilibre. Cette analyse fournit des informations utiles sur le comportement des solutions vis-à-vis des perturbations sur les données du problème. En terme pratique, ladite analyse permet de mesurer la possibilité de réalisation d’un objectif donné face à une situation donnée une fois les données sont perturbées ou sont connues par approximation. Cette thèse se propose donc principalement d’étudier la stabilité et sensibilité des problèmes d’équilibre. Elle est composée se sept chapitres. Le chapitre introductif donne en premier lieu un bref aperçu historique sur le domaine de recherche et présente ensuite des exemples et modèles qui cernent des situations inhérentes à la mécanique et à l’économie. Le premier chapitre regroupe des notions préliminaires et résultats de base. Le chapitre deux présente un résultat d’existence par la méthode de récession qui évite la condition classique de coercivité. Il contient aussi un principe Variationnel de type Ekeland pour les points d’équilibre. Une étude d’existence et de stabilité sur les points d’équilibre résolvant les inéquations hémi-Variationnelles à valeurs propres a fait l’objet du chapitre trois. Les chapitres quatre et cinq sont consacrés à la stabilité et la sensibilité des points d’équilibre et de quasi-équilibre, ainsi des résultats sont obtenus sans faire appel à la structure Hilbertienne. Ces deux chapitres contiennent aussi des applications aux inéquations Variationnelles, Hémi-Variationnelles et problème de transport régi par des lois non monotones. Le chapitre six à essayé d’adapter quelques résultats récents sur les inéquations Variationnelles, Basé sur des arguments d’épi-convergence, aux problèmes d’équilibre. Ce dernier chapitre présente également des applications Hémi-Variationnelles Généralisées, problèmes d’optimisation et équilibre de Nash dans les jeux non coopératifs. Des commentaires sur les résultats obtenus complètent le contenu de la thèse.
Keywords: Mathématique; Système Dynamique; Sensibilité; Stabilité; Point d'équilibre; Inégalité Hemi-Variationnelle; Inégalité Variationnelle