Contributions to the study of lévy processes and fractional processes via the Malliavin calculus and applications in statistics. - Es-Sebaiy, Khalifa (Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences Semlalia, Marrakech, 2009)
Cette thèse se décompose en six chapitres plus ou moins distincts. Cependant, tous font appel au calcul de Malliavin, aux notions de processus gaussien et processus de Lévy, et à leur utilisation en statistique. Chacune des trois parties a fait l’objet de deux articles. Dans la première partie, nous établissons les théorèmes d’Itô et de Tanaka pour le mouvement brownien bifractionnaire multidimensionnel. Ensuite nous étudions l’existence de la densité d’occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire. Dans un deuxième temps, nous construisons d’une part des estimateurs efficaces pour la dérive du mouvement brownien fractionnaire et d’autre part des estimateurs biaisés de type James-Stein qui dominent, sous le risque quadratique usuel, l’estimateur du maximum de vraisemblance. La dernière partie présente deux travaux. Dans le premier, nous utilisons une approche menant à calcul de Malliavin pour les processus anticipés de type intégrale d’Itô-Skorohod ( au sens de [111]) sur l’espace de Lévy. Dans le deuxième, nous étudions le lien entre les processus stables et les processus auto-similaires, à travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.
Keywords: Analyse; Probabilité; Processus de Lévy; Processus Fractionnaire; Calcul de Malliavin; Statistique