Algèbre de germes en un point et calcul fonctionnel

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions le calcul fonctionnel d’un élément a d’une b-algèbre dont la croissance de la résolvante est contrôlée par une fonction δ positive, Lipschitzienne sur C, possédant un zéro et un seul d’ordre infini à l’origine. C'est-à-dire que (a-t)⁻¹ admet une singularité essentielle à l’origine. Ce problème nous a conduit à considérer l’algèbre des séries formelles à une indéterminée X à coefficients complexes, C[[X]], qui est un b-algèbre. Si est une fonction définie et continue sur un voisinage de zéro, telle que ∫ δ⁻¹(t) ∂ƒ(t)dt existe, alors nous montrons : 1) L’existence d’une suite de nombres complexes (an(ƒ))n dont chaque terme définit une forme linéaire continue sur une famille d’algèbres de Banach. 2) L’existence d’une fonction complexe ƒ de classe C∞ sur un voisinage de 0, telle que (Dαƒ)(0) = (i)α²a/α/(ƒ) pour tout = (α₁,α₂) ∈N². 3) D’autre part, pour une telle fonction nous arrivons à définir l’élément ƒ[X] de C[[X]] grâce au théorème du calcul fonctionnel.