Détermination de bases d'entiers et de systèmes fondamentaux de certaines familles de corps de nombres

Abstract

Dans ce travail, on donne un critère pratique caractérisant la monogénéité de la fermeture intégrale d’un anneau de Dedekind. Ce résultat apporte un enrichissement au critère classique de Dedekind. On définit une famille plus large de corps de nombres dont les anneaux d’entiers sont quasi-monogènes et on détermine ces bases d’entiers. Ceci nous permet de caractériser la monogénéité des corps de nombres cubiques quasi-monogènes par des équations diophantiennes. Pour déterminer l’unité fondamentale dans un ordre cubique, on améliore la méthode de recherche de points extrémaux due à B. Adam qui permet dans certains cas de calculer le développement par l’algorithme de Voronoi. Cette amélioration nous permet de réduire de huit à cinq au maximum le nombre de choix d’un point extrémal adjacent à 1 de deuxième espèce pour toutes les formes d’écritures du vecteur isotrope d’une forme quadratique. On détermine également le développement par l’algorithme de Voronoi de la première famille paramétrée infinie de corps de nombres cubiques introduite par C. Levesque et G. Rhin, et on obtient ainsi l’unité fondamentale de ses corps. Enfin, on donne des illustrations de ces résultats, notamment on détermine les invariants arithmétiques de certaines familles.