Unités des corps Q(√d₁, √d₂,√­d) et application au problème de capitulation sur le corps Q(√d, √­2)

Abstract

Soient d, d, d et m des entiers positifs différents et sans facteurs carrés. On consacre le deuxième chapitre de cette thèse à la détermination d’un système fondamental d’unités des extensions de degré sur Q de la forme : L = Q (d₁, d₂, -m), m ∉ Q (d₁, d₂). Soient K = Q (d,-₂), K2⁽¹⁾ le 2. Corps de classes de Hilbert de K et C₂ le 2-groupe de classe de K. On suppose que Gal (K₂⁽¹⁾ /K est de type (2,2). En étudiant la structure de C₂, on détermine tous les entiers d pour lesquels cette dernière condition est vérifiée. Au dernier chapitre, on s’intéresse à des questions de capitulation. Soit Ki une souextension propre de K₂⁽¹⁾ sur K. Alors le nombre de classe de C₂ qui capitulent dans Ki est égal à 2 [Ek : Nki/k (Eki) ], où Ek (resp. Eki) est le groupe des unités de K (resp. ki). Moyennant les propositions du second chapitre, on calcule ce nombre, dans tous les cas où Ki est de la forme Q (d₁, d₂, -m). Ceci fait l’objet des théorèmes 4.1, ……, 4.5. A la fin des chapitres on donne des exemples numériques.