Etude d'une certaine famille d'équations des ondes

Abstract

Dans cette thèse on donne une étude d’une certaine famille d’équations des ondes à termes dissipatif sous-linéaire, de la forme : (1) : u " - ∆u + σ(u’) + β(u) = f dans Ωx IR u = 0 sur ∂ Ω x IR Le travail se compose de trois chapitres et une annexe : Dans le premier chapitre, on montre l’existence et l’unicité de solutions du problème de Cauchy associé à l’équation (1). On donne, à la fin du chapitre, une remarque sur la stabilité des solutions. Dans le deuxième chapitre, on donne le comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy associé à l’équation (1), avec β(u)=Ku. On montre alors que : E(u(t)) ½ ( ||∇u(t)|| ₂²) || + ||u’(t)|| ²₂) ≤C, (1+t)⁻²η. Où η dépend de r et n. Dans la troisième chapitre, on montre l’existence et l’unicité de solutions du problème périodique "par rapport au temps t" associé à l’équation (1), toujours avec β(u)=Ku, avec – λ₁ < K < +∞. On généralise ainsi es travaux de NAKAO [18] et [19] où il suppose n 1 et β(u)=0 respectivement. Dans l’annexe, on reprend le travail de NAKAO [19], dans le cas périodique et on montre que les hypothèses f ∈L² (ω, H² (Ω) H¹ (Ω)) et 0 < nr < 4 suffisent pour montrer l’existence de solutions périodiques, alors que dans [19] NAKAO a supposé : F ∈ L² (ω, H² (Ω) H¹₀ (Ω) Lq (ω, Lq (Ω)) et 0 < nr < 4. où q = 2-r/1-r.