Inégalités liées aux fonctions analytiques, à la norme et au rayon spectral dans les algèbres de Banach

Abstract

Soit A une algèbre de Banach sans idempotent non nul. On sait qu’on a l’inégalité suivante : Inf ∥x∥≥½∥x² - x∥ ≥ 1/4. Dans ce travail, on donne des inégalités du même type, en utilisant soit la norme, soit le rayon spectral. Pour les algèbres de Banach vérifiant pq ≠ p pour tout p élément de A non nul et tout q élément de A, on donne une inégalité plus générale liée aux fonctions analytiques ayant un zéro simple à l’origine. On en déduit notamment des conditions suffisantes pour qu’une algèbre de Banach, ayant une unité approchée bornée séquentielle (u.a.b.s), possède une (u.a.b.s) formée à l’origine et on donne une condition suffisante pour qu’elle soit unitaire. Quelques applications pour les contractions d’un espace de Banach sont données à la fin de ce travail.