Quantifiabilité par déformations de structures de poisson quadratiques sur IR³ et IR⁴

Abstract

Nous essayons dans ce mémoire de mettre à profit les récents travaux de l’équipe OMY (H.Omori, Y.Maeda et A.Yoshioka) pour contribuer à l’étude de la quantifiabilité par déformations de structures de poisson quadratiques sur IRⁿ. Moyennant l’introduction de certaines constantes que nous appelons les caractéristiques de la structure de Poison considérée, nous avons montré que l’obstruction antisymétrique Rm, d’ordre m, associée à une quantification par déformations d’ordre m-1 donnée, ne dépend que de la structure de poisson étudiée lorsque la quantification en question vérifie une certaine propriété (P2). Et comme les travaux de l’équipe OMY montrent que toute structure de poisson quadratique quantifiable par déformations formelles est en fait quantifiable par déformations pour les structures quadratiques sur IRⁿ, puis certains critères pratiques de quantifiabilité par déformations. Nous avons, enfin, réalisé un programme sur le système MAPLE de calcul formel dont l’exécution pour les structures répertoriées dans la classification Dufour-Haraki des structures de Poisson quadratiques en dimension 3 nous a permis de vérifier la quantifiabilité de toutes les structures de Poisson quadratiques sur IR³ (résultat déjà annoncé par Elgaliou). L’exécution du même programme pour les structures de Poisson quadratiques répertoriées dans la classification d’Elgaliou des structures de poisson quadratiques en dimension 4 nous a permis d‘isoler des modèles de structures quantifiables et surtout des structures rigides ; ce qui constitue probablement encore une première. Nous essayons dans ce mémoire de mettre à profit les récents travaux de l’équipe OMY (H.Omori, Y.Maeda et A.Yoshioka) pour contribuer à l’étude de la quantifiabilité par déformations de structures de poisson quadratiques sur IRⁿ. Moyennant l’introduction de certaines constantes que nous appelons les caractéristiques de la structure de Poison considérée, nous avons montré que l’obstruction antisymétrique Rm, d’ordre m, associée à une quantification par déformations d’ordre m-1 donnée, ne dépend que de la structure de poisson étudiée lorsque la quantification en question vérifie une certaine propriété (P2). Et comme les travaux de l’équipe OMY montrent que toute structure de poisson quadratique quantifiable par déformations formelles est en fait quantifiable par déformations pour les structures quadratiques sur IRⁿ, puis certains critères pratiques de quantifiabilité par déformations. Nous avons, enfin, réalisé un programme sur le système MAPLE de calcul formel dont l’exécution pour les structures répertoriées dans la classification Dufour-Haraki des structures de Poisson quadratiques en dimension 3 nous a permis de vérifier la quantifiabilité de toutes les structures de Poisson quadratiques sur IR³ (résultat déjà annoncé par Elgaliou). L’exécution du même programme pour les structures de Poisson quadratiques répertoriées dans la classification d’Elgaliou des structures de poisson quadratiques en dimension 4 nous a permis d‘isoler des modèles de structures quantifiables et surtout des structures rigides ; ce qui constitue probablement encore une première.