Méthodes variationnelles pour des problèmes elliptiques semi linéaires de Dirichlet

Abstract

Ce travail concerne la résolubilité de certains problèmes elliptiques semi-linéaires de Dirichlet ; par des méthodes variationnelles. Nous nous intéressons d’une part aux résultats d’existence pour le problème : -∆u = g(x,u) dans Ω U= 0 sur ∂ Ω

Où Ω est un domaine borné de RN et g : Ω × R → R une fonction de carathéodory, à croissance sous critique. D’autre part, nous considérons le problème : -∆u = λiu + f(x,u) dans Ω U= 0 sur ∂ Ω

où λi est la ième valeur propre de l’opérateur - ∆. Nous montrerons : Un résultat de non résonance lorsque la nonlinéarité f(x,s) +λi s est comprise asymptotiquement entre deux valeurs propres consécutives de -∆. Un résultat d’existence lorsque la perturbation f est bornée, ou bien a une croissance sous linéaire. Un résultat d’existence lorsque λi = λ1 et f a une croissance sous critique.