Sur certains problèmes non-linéaires à la résonance

Abstract

Ce travail consiste à étudier l’existence de solutions pour des problèmes elliptiques non-linéaires à la résonance du type : ∆p u = f(x,u) + h(x) dans Ω u = 0 sur ∂Ω Où est un domaine borné et p est le p-Laplacien, qui constitue une généralisation non-linéaire du Laplacien ( p = 2) elle intervient en particulier dans l’étude des fluides non-Newtoniens, de quelques problèmes de réaction-diffusion, d’élasticité non-linéaire, de glaciologie, d’extraction du pétrole… (Cf [ 19 ], [ 20 ] et leurs références ). Cette thèse est organisée en deux parties, chacune d’elles est précédée d’une introduction détaillée. Dans la première partie on s’intéresse au caractère fortement non-linéaire lorsque f ne satisfait aucune condition de croissance. Dans la seconde partie, on étudie un problème dit de limite inférieure qui fait intervenir une condition de non-résonance de la forme :

Liminf pF(x,s) < cp S →±∞ ∣s∣p Où F est une primitive de f et cp est la première valeur propre du p-Laplacien sur un certain intervalle. Nous étendons aussi cette étude à une famille d’opérateurs plus généraux que ∆p.