Contribution à l’étude de la stabilité et à l’approximation brownienne des réseaux de files d’attente

Abstract

Dans ce travail on étudie la stabilité et l’approximation brownienne des réseaux multi classes sous la discipline de service SBP (Static Buffer Priority : une discipline de service fondé sur des priorités entre les classes). On considère d’abord un réseau de files d’attente associé aux paramètres (α, m, P, C) sous la discipline de service SBP et on rappelle que le modèle fluide correspondant à ce réseau s’énonce comme un problème de Skorohod linéaire LSP (θ) de matrice de réflexion R (θ et R sont donnés en fonction des paramètres (α, m, P, C)). En appliquant le lien existant entre le problème de complémentarité linéaire LCP et le problème de Skorohod linéaire LSP, on établit des conditions nécessaires de stabilité du LSP. En étudiant la stabilité dans ℝ₃, on montre à l’aide d’un exemple que ces conditions nécessaires de stabilité ne sont pas suffisantes. D’autre part on caractérise les vecteurs θ є ℝ₃ pour lesquels le problème LSP (θ) est stable. A l’aide de la propriété de translation, de scalarisation et de l’inégalité des oscillations, nous caractérisons la stabilité du LSP (θ) dans ℝd. ceci nous a permis de redémontrer, par une méthode simple, que la stabilité du problème LSP (θ ) entraine la récurrence positive du SRBM associé aux données (θ , R, ∆, S). Nous nous intéressons aussi à l’instabilité du problème (θ). Nous donnons une condition suffisante d’instabilité de ce problème. D’autre part, nous établissons une condition suffisante pour le SRBM ci-dessus soit transient. Concernant l’approximation brownienne des réseaux associés aux paramètres (α, m, P, C), nous démontrons d’une part que si la suite normalisée du couple des processus « charge de travail » et « nombre de clients » converge vers un processus continu, alors la condition ‘’state space collapse’’ est vérifiée. D’autre part nous donnons une condition suffisante pour que le modèle fluide correspondant à ce réseau soit uniformément convergent. Cette condition est alors suffisante pour qu’il y a approximation brownienne. Grâce à cette condition, nous démontrons quelques résultats d’approximation brownienne des réseaux particuliers.