Reconnaissance et construction de contre-exemples en analyse mathématique de fonctions : Etude de cas en première année d'université

Abstract

L’étude historique montre que le développement du statut du contre-exemple à la fin du 19ème siècle a été fortement lié au développement du concept de fonction. Certains contre-exemples étaient à l’origine de la naissance de nouveaux concepts, tels la série de Fourier réfutant le théorème de Cauchy. A l suite de ce contre-exemple, Seidel a d’ailleurs pu mettre en évidence le concept de convergence uniforme. D’autres étaient à l’origine de la remise en cause des fondements des mathématiques tels la fonction de Weierstrass. Ce rôle montre l’importance de la production des contre-exemples en analyse mathématique et peut faire penser à « exporter » cette activité chez les étudiants. Notre recherche porte essentiellement sur l’identification des démarches des étudiants en situation de production d’exemples ou de contre-exemples autour de l’analyse mathématique des fonctions, en mettant en avant les éléments pertinents qui caractérisent ces démarches. Une première partie de notre travail a consisté en l’étude des profils individuels des étudiants en première année universitaire sur des questions se rapportant au contre-exemple. Cette étude a permis de dégager deux éléments ayant une importance dans le traitement de l’implication et la compréhension d’un énoncé mathématique : d’une part l’ordre des éléments présents dans une implication ou dans l’énoncé, et d’autre part sa comparaison avec d’autres énoncés ayant des formes similaires. Notre hypothèse était que cette comparaison serait favorable à la reconnaissance d’un contre-exemple. La deuxième partie de notre recherche s’est centrée sur le suivi d’un nombre assez réduit de binômes en DEUG, sur des durées assez longues, travaillant sur le même ensemble de problèmes d’analyse de fonctions. L’analyse des corpus recueillis a été réalisée grâce à des méthodes factorielles multiples qui ont permis de dégager une première caractérisation des démarches des étudiants, en terme de stratégies globales et locales. Une analyse qualitative des productions des étudiants basée sur les résultats d’analyses factorielles, a permis de raffiner les stratégies identifiées chez les étudiants en termes de stratégies « gagnantes » ou « perdantes », avec une grande précision sur les activités qui les caractérisent. Une perspective didactique de cette recherche serait de proposer aux étudiant un travail en groupes, sur la production de contre-exemples à des propositions fausses qui sont des sources d’erreurs fréquentes. Les contre-exemples alimentent et enrichissent le concept de fonction lui-même, ainsi que les concepts d’analyse mathématique qui lui sont associés. Ils provoquent des besoins de précisions qui conduisent à énoncer des définitions et à formuler des conditions restrictives nécessaires à la validité des résultats. La construction d’exemples et de contre-exemples permettra ainsi une appropriation de l’analyse des fonctions de manière assez fine et plus riche que celle qui résulte des exercices habituels.