Dual d'un idéal, propriétés de trace, et étoile-opérations dans les anneaux commutatifs intègres

Abstract

Soient R un anneau commutatif, unitaire, intègre et K son corps de fractions. A chaque idéal (fractionnaire) non nul I de R, on associé les objets algébriques suivants : I⁻¹ = {x ∈K/xI  R} et (I : I) = {x ∈K/xI  I}. Notons que (I : I) est un sous anneau de K alors que I⁻¹ est R-module qui n’est pas, en général, un sous-anneau de K et pour tout idéal entier de R, (I : I)  I⁻¹. L’anneau (I : I) est canoniquement isomorphe à l’anneau des endomorphismes de I noté EndR(I). De même, I est canoniquement isomorphe à l’anneau des endomorphismes de I noté EndR(I). De même, I⁻¹ est canoniquement isomorphe, en tant que R-module, au module des r-morphismes de I dans R, noté HomR(I, R). Conformément à cet isomorphisme, I⁻¹ sera appelé le dual de l’idéal I. depuis quelques années, deux questions suscitent un intérêt particulier chez certains algébristes. A savoir quand est ce que I⁻¹ est un anneau ? et sous quelles conditions a-t-on I⁻¹ = (I : I) ? Dans la présente thèse, nous nous intéressons de très près à ces questions et à l’étude de quelques propriétés liées à la notion du dual. Elle est divisée en deux grandes parties faisant l’objet de neuf chapitres recouvrant neuf publications. La première partie regroupe trois chapitres dans lesquels nous examinons de très près les queux questions pré-citées dans le cas des produits fibrés, des anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées et d’autres situations plus générales. Plus précisément, nous examiné le dual d’un idéal dans les anneaux des constructions (T, I, D) et nous avons porté un intérêt particulier aux constructions ‘’D+M’’ classiques. Quant aux anneaux de polynômes, en plus de quelques critères prouvés dans le cas général, nous avons complètement charactérisé le dual d’un idéal premier. Au chapitre §III, nous avons examinée la situation dans le cas général où les choses se compliquent d’avantages et plusieurs questions demeurent ouvertes. Parmi autre, nous avons généralisé deux grands théorèmes, le premier est dû à Huckaba-Patrick, [Hup, théorème 3.2], et le deuxième est dû à la Fontana-Huckaba-Papick-Roitman, [FHPR, théorème 4.11], aux PV MD. La deuxième partie de cette thèse débuté par le chapitre IV où on a étudié le transfert de quelques propriétés à aspect de cohérence, telles que le v-cohérence, la quasicohérence, les FC domaines, v-domaines, PV MD, etc aux anneaux des constructions (V, I, D). Les chapitres V, VI et VII sont consacrés à l’étude des propriétés de trace, qui sont étroitement liées à la notion du dual, dans des différentes situations. Ainsi, dans le chapitre V, nous avons établit quelques résultats dans le cas général. Parmi autre, nous avons apporté une réponse partielle à la question ouverte suivante : Soient R un RTP domaine et I un idéal de trace de R (i.e. I⁻¹ = (I : I). L’anneau (I : I) est-il un RTP anneau ? Dans le chapitre VI, nous avons examinés le transfert des propriétés de trace aux anneaux des constructions (T, M, d) où M décrit différentes situations d’idéaux de T. Quand au chapitre VII, on a généralisée ces propriétés d’autres d’une étoile-opérations quelconque sur R. ainsi, nous avons généralisé certains résultats connu, d’autres établit dans les chapitres V et VI et nous avons donné des énoncés analogues pour d’autres. Le chapitre VIII est consacré à l’étude des domaines fort de Mori (i.e. domaines vérifiant la CGA pour les w-idéaux) et des TW-domaines (i.e. domaines pour lesquels la w- et la t-opérations coïncident). L’introduction de la w-opération nous an permit de donner une nouvelle charactérisation des PV MD anneaux et de mettre en évidence que les PwM d domaines introduit et étudié par X. fanggui et L. McCasland dans [FM] sont exactement les PV MD. La thèse débouche sur un neuvieme chapitre dans lequel on a étudié le semigroupe de classes S(R) : = F(R) / P(R) d’un anneau commutatif R où F(R) est le semigroupe multiplicatif des idéaux fractionnaire de R et P(R) le sougroupe des éléments principaux de F(R). Parmi autres, nous avons charactérisé les anneaux Noetheriens et les anneaux de Prüfer discrets forts dont les semigroupes de classes sont de Clifford (i.e. tout élément est régulier au sens de von Neumann) et les anneaux de Prüfer dont les semigroupes de classes sont des semigroupes de Boole (i.e. tout élément est idempotent).