Eléments singuliers permanents et idéaux non-relevables dans certaines classes d'algèbres topologiques ou bornologiques

Abstract

Dans ce travail, nous étudions le problème des éléments singuliers permanents et celui des idéaux non relevables dans quelques classes d’algèbres topologiques ou bornologiques. Dans la première partie, nous rassemblons des résultats déjà connus dans le cas topologique concernant ce sujet et qui étaient dispersés dans des revues. Dans la deuxième partie, nous étudions la singularité permanente dans les algèbres bornologiques. Pour ce faire, nous introduisons la notion d’élément bornant. C’est une notion qui généralise celle de diviseur topologique de zéro. Nous étudions en détail ces éléments dans le chapitre 5 et nous en donnons plusieurs caractérisations et propriétés. Nous montrons ensuite que, dans la classe B de toutes les algèbres bornologiques, un élément est singulier permanent si, et seulement si c’est un élément bornant. Nous remarquons que cette caractérisation est aussi valable dans la classe C de toutes les algèbres bornologiques convexes. Donc, un élément C-singulier est aussi B-singulier. (i.e. : la C-singularité est de caractère absolu). Par contre, la M-singularité est de caractère relatif (M étant la class de toutes les a.b.m.c). En effet, il existe des éléments dans de telles algèbres qui ne sont pas bornants mais qui sont M-singuliers. Pour cette raison, nous introduisons la notion d’éléments m-bornant, ce qui permet de caractériser les éléments M-singuliers. Plus généralement, nous étudions les idéaux non relevables dans le cas bornologiques. Nous introduisons la notion d’idéal formé d’éléments bornants joints. Elle généralise celle d’idéal formé de diviseurs topologiques joints de zéro. Plusieurs propriétés de ces idéaux sont donnes. Nous montrons, en particulier, qu’un idéal est b-non-relevable si, et seulement si, il est formé d’éléments bornants joints. Nous constations aussi que la notion d’idéal C-non-relevable est de caractère absolu, tandis que celle d’idéal M-non-relevable est de caractère relatif. En effet, un idéal M-non-relevable n’est pas nécessairement formé d’éléments bornants joints. Cela nous suggère d’introduire la notion d’idéal formé d’éléments m-bornants joints. Ce qui nous permet de donner une caractérisation des idéaux M-non-relevables. Dans la troisième partie, nous nous intéressons au cas des algèbres de Jordan n.c. Après avoir rappelé quelques résultats en relation avec notre sujet, nous montrons dans le chapitre 8 un théorème montrant que dans une algèbre de Jordan n.c. A, l’absence des diviseurs topologiques généralisés de zéro implique que l’ensemble Gj(A) des éléments J-inversibles est sous algèbres de A, isomorphe à ¢dans le cas complexe, et est quadratique de J-division localement bornée dans le cas réel. Le dernier chapitre, est consacré à la singularité permanente dans les algèbres de Jordan n.c. Après avoir donné les définitions adaptées à ce cas, nous donnons plusieurs conditions suffisantes pour qu’un élément soit singulier permanent.