Algèbres topologiques locales et faisceaux de Gelfand d'algèbres topologiques

Abstract

Ce travail est une contribution à la théorie des algèbres topologiques et aux faisceaux de Gelfand. On s’y intéresse au théorème local établi pour les algèbres de Banach pat M. Gelfand, d. Raikov et G. Shilov, pour les algèbres de Fréchet par R.M.Brooks et pour les algèbres topologiques à spectres compacts par A. Mailios. La démonstration de ce théorème se base sur la partition fini ou dénombrable de l’unité, qui s’applique sur un recouvrement convenablement choisi du spectre de l’algèbre qui est compact ou de Lindelöf. Pour les algèbres uniformes, les techniques utilisées dans les démonstrations classiques ne sont pas adéquates, car leurs spectres ne sont ni compacts ni de Lindelöf. Pour établir le théorème local dans ce cas, nous avons montré qu’un tel théorème est vrai pour toute limite projective d’algèbres topologiques semi-simples vérifiant le théorème local. Nous retrouvons le résultat établi par E.M. Brooks pour les algèbres de Fréchet semi-simples, par contre nous donnons un exemple d’algèbre uniforme, unitaire, régulière et semi-simple donc vérifie le théorème local et qui n’est pas de Fréchet. Moyennant un théorème de structure, que nous avons établi, nous étendons le théorème local à une classe d’algèbres topologiques, généralisant les clases citées ci-dessus, que nous appelons k-algèbres, les éléments de cette classe apparaissent comme limites projectives d’algèbres topologiques semi-simples à spectres compacts. Nous exhibons un exemple d’algèbre topologique non complète vérifiant le théorème local, ce qui montre que la condition de la complétude, faisant parie de conditions suffisantes des différents situations mentionnées ci-dessus pour avoir le théorème local, n’est pas indispensable. Ceci nous a incités à introduire et à étudier la plus grande clase d’algèbres topologiques vérifiant le théorème local, que nous appelons algèbres topologiques locales. Nous définissons la notion d’extension locale ; e pour toute algèbre topologiques semi-simple E, nous établissons l’existence de la plus petite suralgèbre topologique locale dite clôture locale de E, à laquelle nous donnons la forme explicite. Nous vérifions quelques propriétés de permanence pour les clôtures locales, et nous donnons des exemples illustrant cette notion et montrent que le complété d’une algèbre topologique est, en général, différent de sa clôture locale. Enfin nous vérifions les propriétés de permanences concernant le faisceau de Gelfand, nous montrons que ce dernier est uniformisable et que sa complétude entraîne celle du spectre de l’algèbre.