Etude géométrique et topologique d'une hiérarchie de systèmes algébriquement intégrables

Abstract

On considère une hiérarchie de systèmes intégrables sur une variété symplectique, dépendants de plusieurs paramètres. Le problème consiste à chercher des conditions sur les paramètres pour que ces systèmes soient complètement intégrables. Une étude approfondie de certains cas trouvés montre que la description des niveaux communs des intégrales et les flots dont ils sont pourvus se fait à l’aide de courbe spectrale (déformation isospectrale). Une représentation (paire) de Lax a été explicitement déterminée et a permis de linéariser le problème sur la variété jacobienne d’une courbe lisse hyperelliptique de genre deux. Aussi, un lien avec certaines équations aux dérivés partielles couplées non-linéaires a été explicitement établi. Plus précisément, les équations aux dérivés partielles couplées non-linéaires de Schrödinger et le champ de Yang-Mills avec groupe de jauge SU(2). Ensuite l’intérêt s’est porté sur l’étude de la complète intégrabilité algébrique des systèmes trouvés précédemment. Cela veut dire que l’on demande que les invariants polynomiaux à des constantes génériques forment la partie affine d’un tore complexe algébrique (variété abélienne) de telle façon que les flots complexes engendrés par les invariants soient des lignes droites sur ces tores complexes. Le tore invariant (Vu dans le complexe) n’est pas principalement polarisé, mais est au mieux isogène à une surface principalement polarisée. On montre que si le système est algébriquement complètement intégrable, alors il possède une famille de solutions en séries de Laurent dépendant d’un nombre suffisant de paramètres libres. Ces solutions évoluent selon des mouvements rectilignes en temps complexe sur des variétés abéliennes. Ces variétés ont toute une série de propriétés remarquables. Le théorème de Kodaira combiné avec le théorème de Lefschetz affirme que les fonctions méromorphes sur le tore ayant un pôle d’ordre 1, 2 ou 3 le long d’un diviseur positif, permettent de plonger le tore de façon lisse dans un espace projectif. Une étape cruciale consiste à trouver ce diviseur positif. Une méthode directe se basant sur la connaissance explicite des solutions sous forme de séries de Laurent a permis de trouver le diviseur en question (sous-variété de codimension un). A partir de ce diviseur sur une variété abélienne, plusieurs renseignements sur les tores ont été effectivement obtenus, ce qui a finalement, permis d’écrire les intégrales abéliennes et donc linéariser les équations différentielles. On montre que la fibre définie par l’intersection de ces invariants se complète en une surface lisse et projective, par l’adjonction d’une courbe lisse hyperelliptique de genre trois ; laquelle est un revêtement double ramifié le long d’une courbe elliptique. On caractérise cette surface comme étant une surface abélienne. Ensuite l’étude s’est portée sur la géométrie des variétés jacobiennes et des variétés de Prym et le système en question se linéarise sur cette variété. Au passage une connection avec l’équation de Korteweg-de-Vries, le système complètement intégrable de Calogero-Moser ainsi qu’avec l’équation de Novikov a été faite. Un des problèmes qui se pose lors de l’étude de la complète intégrabilité algébrique de ces systèmes est comment compléter la variété invariante en une variété abélienne ? En utilisant la classification de Enriques-Kodaira sur les surfaces, on montre que la variété invariante peut-être complétée par l’adjonction d’une surface de Riemann compacte (en l’occurrence une surface de Riemann de genre trois) en une variété abélienne sur laquelle le problème en question se linéarise.