Contribution à l'étude de la bifurcation de Hopf dans le cadre des équations différentielles à retard, application à un problème en dynamique de population

Abstract

Notre objectif dans ce travail est de donner une démonstration du changement de la stabilité de la branche supercritique de solutions périodiques bifurquées dans le cadre des équations différentielles à retard, en se basant sur les deux étapes suivantes m (i) Réduction de l’équation à un système en dimension deux par la formule de variation de la constante et le théorème de la variété centre. (ii) Estimation de la distance entre la solution de l’équation initiale et la solution périodique bifurquée. Nous obtenons ainsi un domaine de stabilité de la branche supercritique. Le second objectif est d’étudier une équation différentielle à un seul retard issue d’un modèle en dynamique de population cellulaire sanguine (Haematopoiese). Ce modèle, initialement introduit par Mackey (1978) présente une position d’équilibre triviale qui est instable et une famille de positions d’équilibre non triviales dont la stabilité dépend du retard. Nous montrons l’existence d’une valeur critique τ₀ du retard τ autour de laquelle nous obtenons un changement de stabilité de cette famille de position d’équilibre en fonction du retard τ. Nous avons ainsi introduit un modèle approché en fonction de cette valeur critique du retard qui coïncide avec celui de Mackey pour la valeur du retard τ = τ₀. Le modèle approché possède un point d’équilibre trivial et un non trivial ne dépendant pas du retard. Par une étude du modèle approché analogue à celle du modèle de Mackey, nous obtenons en particulier l’existence d’une branche de solutions périodiques bifurquées à partir du point d’équilibre non trivial. Enfin nous donnons un algorithme explicite de calcul des éléments de la bifurcation.