Solutions périodiques de quelques problèmes paraboliques non linéaire : Existence et Stabilité

Abstract

L’objectif de ce travail est l’étude de divers problèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires du type parabolique et elliptique-parabolique périodique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leary-Lions. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, notamment une inégalité de type Tartar, nous prouvons au chapitre 2, sous l’hypothèse d’existence de sous et de sur-solutions bornées et ordonnées, l’existence d’une solution périodique pour un problème parabolique assez général avec une croissance naturelle. Par les mêmes techniques, en utilisant une inégalité de type Tartar on montre au chapitre 3 l’existence d’une solution périodique Laplacien singulier. Au chapitre 4, nous discutons l’existence et la non existence de solutions périodiques pour un problème faisant intervenir le p-Laplacien dégénéré, un second membre mesure assez régulier et une croissance naturelle l’existence d’une solution renormalisée. Dans le chapitre 5, on établit par application du théorème de point fixe de Schauder et une inégalité du type Tartar l’existence d’une solution périodique pour un problème parabolique singulier. Nous discutons tout suivant la croissance du second membre en l’inconnue, en distinguant le cas unidimensionnel du multidimensionnel, l’existence de solutions faibles. Au dernier chapitre, nous montrons dans le cas d’existence de sous solution plus petite qu’une sur-solution l’existence d’une plus petite et d’une pus grande solution du problème étudié au chapitre 2. De plus nous montrons que ces solutions ont stables dans un certain sens.