Problème inverse de conduction de la chaleur 1D et 2D appliqué aux traitements thermiques des matériaux à transformation de phases

Abstract

Le travail de cette thèse s’insère dans le perspective d’apporter des solutions à la fois aux problèmes expérimentaux et numériques, rencontrés dans le domaine du traitement thermique des matériaux, qui son en relation avec les difficultés de mesure (métrologique) des conditions aux limites thermiques pièces traitées. Ces conditions aux limites thermiques se matérialisent par l’échange thermique superficiel entre la pièce et le milieu environnant, ne peuvent être directement accessibles par mesure et doivent être approchés par résolution de l’équation de la chaleur dans laquelle le terme source rend compte de transformation de phase liées à l’évolution thermique considérée. Ce problème dit « mal-posé » consiste à identifier la condition aux limites en se basant uniquement sur la mesure de la température en des points situés à l’intérieur du solide. Dans l’optique de résoudre ce genre de problème inverse nous avons été amené à développer deux méthodes numériques en géométrie cylindrique : la méthode de spécification de fonction utilisant la régularisation de Tikhonov et la méthode du gradient conjugué utilisant la régularisation implicite. La première méthode utilise une approche séquentielle qui constitue à minimiser l’écart quadratique entre les températures calculées et celles mesurées à l’intérieur du solide en introduisant des termes de régularisation. Cette approche nous a conduit à mettre en œuvre une procédure de calcul des coefficients de sensibilités en prenant en compte la non linéarité du problème due principalement à la forte dépendance des propriétés thermophysiques de la température et de la microstructure. La deuxième méthode emploie une approche globale qui consiste à minimiser l’écart quadratique cité précédemment en résolvant trois problèmes successifs et couplés : problème direct, problème de sensibilité et problème adjoint. Dans une première étape de cette étude, ces deux méthodes ont été validées numériquement et expérimentalement dans le cas d’un problème inverse monodimensionnel. La validation numérique a été effectuée dans le cas purement « synthétique » pour lequel l’évolution de la température a été simulée par un calcul direct. L’analyse a porté sur l’influence des paramètres du maillage et du bruit de « mesure » sur l’estimation de la densité du flux de chaleur. La validation expérimentale été effectuée sur deux cas de traitements thermiques réels différents. Dans la deuxième étape, nous nous sommes consacrés à traiter le problème inverse en deux dimensions. Pour cela, nous avons mis en œuvre par approche des éléments finis une méthode de résolution bidimensionnelle du problème direct de la conduction de la chaleur associé à celui des transformations de phases. Cette méthode permet de suivre d’une part la cinétique thermique en tout point du matériau traitée et d’autre part de décrire l’évolution métallurgique de celui-ci lors du traitement thermique (trempe des matériaux à transformations de phase : aciers). Ensuite nous avons développé une méthode inverse utilisant la régularisation implicite (gradient conjugué) en se basant sur la résolution bidimensionnelle du problème direct par éléments finis. Cette méthode inverse a été appliquée à des éprouvettes cylindriques massives subissant d’une part un traitement classique consistant à chauffer rapidement avec des gradients thermiques importants et à refroidir par un flux constant de façon à provoquer la transformation martensitique à la fin du traitement thermique et d’autre part un traitement thermique autotrempant (chauffage : faisceau laser, refroidissement : assuré par conduction dans le reste du volume de l’éprouvette). Les confrontations : calcul direct-inverse, pour le premier cas, et expérience-inverse pour le deuxième ont été étudiés et analysées pour tester les divers aspects de notre modélisation inverse bidimensionnelle.