Contribution à la résolution de quelques problèmes de la physique non-linéaire

Abstract

Le travail présenté dans cette thèse combine des aspects analytiques et numériques. Il contribue à la compréhension des instabilités et à l’étude des solitons : deux aspects importants de la physique non-linéaire. Dans la première partie une méthode s’appuyant sur la théorie des instabilités cellulaires avec interaction de trois modes permettant l’analyse de l’influence des perturbations localisées et/ou réparties est proposée. Appliquée au problème de flambage cellulaire des cylindres longs et minces en présence de défauts localisés et/ou répartis sous compression axiale, la méthode a permis de mettre en évidence le rôle critique joué par les défauts localisées et répartis sur la chute de la capacité portante de ces structures. On a établi dans le cas d’un défaut localisé seul d’amplitude a₁ (resp réparti seul d’amplitude ar) que la réduction de la charge critique est proportionnelle à (a₁) (resp (ar)½). Dans la seconde partie on présente de nouveaux indicateurs de bifurcations et une Méthode Asymptotique Numérique s’appuyant (MAN) pour le calcul de la propagation d’ondes non-linéaires. Pour les indicateurs de bifurcation, qui sont un moyen efficace pour détecter les instabilités, une méthode de calcul s’appuyant sur la MAN à une ou plusieurs perturbations est proposée. Un exemple avec un comportement pré-critique fortement non-linéaire (flambage plastique) est donné. Le problème choisi pour montrer l’efficacité de la MAN en instationnaire est celui de la propagation d’ondes non-linéaires modélisée par l’équation de Korteweg-de Vries KdV (les solitons).