L’infographie pour l’art géométrique islamique

Abstract

Dans la culture islamique, l'art géométrique est partout. On trouve des motifs géométriques dans les mosquées, les madrasas, les palais et même dans les maisons privées. En plus de son esthétique reconnue, l’ornement géométrique islamique est réputé pour sa sophistication mathématique. En parallèle avec le développent des mathématiques, la technologie informatique ne cesse d’évoluer. En effet, l’infographie est un outil puissant qui permet une meilleure exploration du domaine artistique. Ces outils nous permettent d’analyser les motifs ornementaux historiques avec une clarté pénétrante. Cette analyse conduit à une compréhension complète des structures de ces motifs. En se basant sur notre compréhension, on peut alors inverser ce processus d’analyse pour produire de nouveaux motifs et développer d’avantage cette tradition artistique. Dans ce contexte, le but de cette thèse est d'exploiter les opportunités offertes par les outils mathématiques et technologiques modernes pour contribuer à l’évolution de l’art géométrique islamique. En effet, ce travail vise à analyser des motifs géométriques en vue d’élaborer par la suite des algorithmes de génération d’anciens comme de nouveaux motifs en utilisant les concepts mathématiques. Ensuite, ces algorithmes seront transcrits dans des programmes informatiques qui permettent de produire des conceptions automatisées et paramétrées des ornements géométriques de l’art décoratif islamique. Les motifs géométriques islamiques peuvent être classés en deux catégories : les motifs géométriques périodiques et les motifs géométriques quasi-périodiques. Pour les motifs géométriques périodiques nous avons élaboré une méthode de génération de motifs islamiques étoilés en se basant sur la théorie des groupes de symétries. Pour ce faire, nous avons premièrement donné une représentation mathématique et paramétrique des étoiles et des rosaces géométriques qui sont les deux motifs de base utilisés dans ce genre de motifs. Puis, nous avons élaboré un algorithme qui permet de construire un motif géométrique périodique. Etant donné un groupe de symétrie, nous avons élaboré un ensemble de règles à respecter et un ensemble d’étapes de ce groupe sur le contenu de la région fondamentale permet d’obtenir le contenu de la cellule de base. Ce dernier permet d’obtenir le motif complet sur le plan en appliquant deux translations suivant les deux vecteurs générateurs. Pour les motifs géométriques quasi-périodiques, nous avons généralisé la méthode précédente pour pouvoir construire ce type de motifs. Le processus de construction des motifs quasi-périodiques est basé sur les pavages quasi-périodiques connus des mathématiques modernes. La première étape de ce processus concerne l’extraction des pavés ou tuiles (losanges) du pavage quasi-périodique sous-jacent. La deuxième étape consiste à diviser chaque tuile en plusieurs triangles rectangles symétriques. Les losanges sont divisés en quatre triangles rectangles identiques et les carrés sont divisés en huit triangles rectangles identiques. L’ordre de la rosace dépend de l’ordre de symétrie du pavage sous-jacent et est déterminée en fonction de l’angle du pavé ayant le plus petit angle. La troisième étape consiste à construire le contenu de chaque triangle extrait du pavage sous-jacent en utilisant le même processus utilisé pour la construction du motif de la région fondamentale des ornements périodiques. La dernière étape consiste à insérer, le contenu des tuiles dans le pavage sous-jacent pour obtenir l’ornement quasi-périodique. Les algorithmes élaborés ont été implémenté en utilisant le langage java. Le programme obtenu « Lmaalem » est doté d’une interface graphique qui permet à l’utilisateur de choisir de manière paramétrique le groupe de symétrie, l’ordre de la rosace/étoile placée sur chaque sommet pour obtenir le motif de manière automatique sans faire un seul tracé de ligne manuellement. L’interactivité et la simplicité de Lmaalem le rend un outil agréable pour construire une grande variété de motifs géométriques islamiques.