Etude de Quelques Problèmes Elliptiques Non Linéaires Dégénérés à Croissance Non- Standard

Abstract

Le contenu de cette thèse, est constitué d’une introduction détaillée, un chapitre préliminaire et deux parties. L’objectif de ce travail est l’ étude des équations différentielles elliptiques dégénérées faisant intervenir des opérateurs en forme divergentielle du type p(x) Laplacien. Ces équations sont d’une façon générale non intégrables. Pour cela, on a recours à plusieurs notion de solution : Solutions faibles, Solution entropique, Solution SOLA. Dans le premier chapitre, nous commençons par donner un bref exposé des définitions et résultats nécessaires à la suite de ce travail. Dans le deuxième chapitre nous introduisons les espaces de Lebesgue à exposant variable avec poids et de Sobolev à exposant variable avec poids. La première partie est consacrée à l’étude d’existence de solutions d’une équations Elliptique quasi-linéaire et fortement non-linéaire dégénéré dans le cadre des espaces de Sobolev à exposants variables et avec poids. Dans le troisieme chapitre de cette thèse, nous avons étudié le problème elliptique quasi-linéaire suivant :

Où $Au$ est un de type Leray-lions vérifiant des conditions non-standards , avec un exposant qui est Log-Holder . Un exemple modèle est donné par l’opérateur p(x)-Laplacien. Les résultats sont obtenus dans ce cas via une approche basée sur la pseudo-monotonie. Dans le quatrième chapitre, en utilisant des techniques d’approximation, de compacité et des résultats classiques d’intégration, on démontre l’existence de solution entropique pour un problème unilatéral dégénéré de la forme :

La donnée $f$ étant supposé dans $L^1$. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l’étude certains problèmes nonlinéaires dégénérés dans un cadre plus général qui celui des espaces Orlicz-Sobolev avec poids, où on démontre, que le problème approché admet une solution en utilisant la méthode des opérateurs pseudo-monotones. On démontre que la limite de cette solution approchée est une solution entropique des problèmes posés.