Structure de l'espace de phases et bifurcations des tores de Liouville des systèmes Hamiltoniens «Cas de l’oscillateur harmonique anisotropique dans un champ central »

Abstract

Cette Thèse traite la structure de l’espace des phases de l’oscillateur harmonique anisotropique à deux dimensions soumis à l’action d’un potentiel quartique. Nous commençons par l’étude de l’intégrabilité algébrique du système hamiltonien en question. Cette étude consiste à chercher les variables qui séparent l’équation d’Hamilton Jacobi en la ramenant sous la forme dite de Jacobi avec laquelle nous parvenons à construire la structure algébrique du système hamiltonien étudié. Nous montrons que ce système hamiltonien est complètement séparable à l’aide d’une transformation canonique que nous avons établie. L’étude de la structure algébrique nous permet de donner une description complète de l’ensemble des niveaux réels des deux intégrales premières MR = {H=h, F=f}. Autrement dit, nous déterminons des valeurs non critiques de H et F le nombre de tores de Liouville. En utilisant la théorie de Fomenko sur la chirurgie des bifurcations des tores de Liouville, nous établissons la liste des bifurcations de la variété MR pour des valeurs critiques des intégrales premières H et F. Nous complétons cette étude par la détermination des solutions périodiques explicites lorsqu’on se trouve sur le diagramme des bifurcations et aussi par des illustrations numériques de la structure de l’espace de phase via les sections de Poincaré afin d’apporter des preuves supplémentaires aux résultats établis théoriquement.